Come derivare il volume integrale di un'ipersfera

Solo un cerchio è l'insieme di tutti i punti in un piano bidimensionale equidistante da un punto centrale e una sfera è l'insieme di tutti i punti in tre dimensioni equidistanti da un punto centrale , in matematica sono presenti strutture analoghe , chiamate ipersfere , in spazi di dimensione superiore a tre che sono l'insieme di tutti i punti equidistanti da un punto centrale . Di conseguenza, come il volume integrale di una sfera in tre dimensioni può essere determinata con calcolo , potrebbero alterare i volumi integrali di queste figure di dimensioni superiori. Istruzioni
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Definire il sistema di coordinate che verrà utilizzato nel problema . Sebbene qualsiasi sistema di coordinate può essere fatto funzionare , una variazione su coordinate polari sferiche funziona meglio . Come esempio , in uno spazio n - dimensionale , definire r come distanza dal punto centrale , theta l'angolo azimutale e phi1 , phi2 , ... phi ( n - 2) come coordinate angolari che vanno da 0 a pi radianti .
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Scrivi il volume di base integrale su tutta la HyperSphere . Questo sarà l'integrale da 0 a qualche raggio R per r , e sulla totalità delle possibili angoli per ogni coordinata angolare , 0 a 2PI per theta e 0 a PI per le variabili rimanenti . Gli integrali multipli sono presi di 1 attraverso l'elemento di volume .
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Sostituire l' elemento di volume con i termini appropriati calcolati dal determinante Jacobiano . Ad esempio, per una ipersfera in quattro dimensioni , sarà : .

R ^ 3 sin ^ 2 ( phi1 ) sin ( phi2 ) dr dphi1 dphi2 dtheta

Per ulteriori informazioni il calcolo del Jacobiano vedi il link di risorse appropriato .
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Annotare la risposta definitiva dopo aver preso ogni integrale in successione . Nel nostro esempio del ipersfera quadridimensionale la risposta finale è : .

(Pi ^ 2/2) * raggio ^ 4