Qual è la divergenza di un vettore scalare

Calcolo vettoriale occupa un posto importante in ingegneria e fisica a causa di tre operatori particolari : ? Gradiente , divergenza e rotore . Le misure di operatore di divergenza di origine di un campo vettoriale o lavandino grandezza in un dato punto . Sebbene campi vettoriali legano valori numerici con indicatori direzionali , divergenza è un risultato scalare . Si tratta di una misura quantitativa per il flusso uscente diretto in un campo vettoriale proveniente da una sorgente . Calcoli di divergenza grado di dimostrare di essere concettualmente complicato , ma non sono impossibili da padrone . Capire la matematica

Per capire manifestazione matematico di divergenza , in primo luogo considerare una funzione differenziabile vettore v ( x , y , z ) dove x , y e z sono le coordinate cartesiane . Inoltre , lasciate v1 , v2 e v3 essere le componenti di v . La divergenza di un campo vettoriale è il prodotto scalare tra l'operatore divergenza e la funzione di campo vettoriale . La formula per la divergenza del campo vettoriale v può quindi essere definita come :

div v = ( e parte; v1 /e parte; x ) + ( e parte; v2 /e parte; y) + ( e parte; v3 /e parte; z )

divergenza può essere intesa come la derivata parziale di ciascun componente rispetto al suo piano di coordinate cartesiane . Prodotti Dot producono soluzioni scalari . L'operatore divergenza produce quindi una soluzione scalare da un campo vettoriale , suggerendo div v essere un'indicazione grandezza senza direzione .
Una maggiore assunzione

Il concetto di base divergenza sottostante fa una grande assunzione , che in una funzione che caratterizza una proprietà fisica o geometrica , i valori sono indipendenti dal particolare scelta di coordinate . In realtà, questo è il caso . Il flusso uscente si assume allontanarsi dalla sorgente con relativa uniformità . Divergenza può essere inteso come un tasso qualitativo di questo flusso o flusso .
Invarianza della Divergenza

I valori per div v dipendono i punti nello spazio e la funzione matematica associata . I valori sono invarianti rispetto alla trasformazione di coordinate . Selezione di una scelta diversa per le coordinate cartesiane x * , y * z * e componenti corrispondenti v1 * , v2 e v3 * * per la funzione v comporterà la stessa equazione . Questa invarianza della divergenza rimane un teorema fondamentale associato a questo operatore particolare

Per quanto riguarda tutte le altre coordinate nel campo vettoriale e dei loro componenti funzionali corrispondenti , il calcolo divergenza rimane la stessa : . La divergenza è il prodotto scalare tra l'operatore e il campo vettoriale , o la derivata parziale di ciascun componente rispetto al suo piano di coordinate cartesiano .
Preso al livello successivo

divergenza svolge un importante ruolo nel calcolo avanzato . Il funzionamento alla base uno dei teoremi integrali "grandi" , che possono essere utilizzati per trasformare calcoli estremamente complessi in più problemi ragionevoli . Questa procedura è nota come la divergenza Teorema di Gauss .

Immaginate una regione chiusa delimitata nello spazio, denominato T , con una superficie liscia a tratti S per il suo contorno. Supponiamo che n è l'unità esterna vettore normale della superficie S. Sia la funzione vettoriale F ( x , y , z ) sia essere continua ed avere continui prime derivate parziali in alcuni dominio contenente T. La divergenza Teorema di Gauss afferma l'integrale triplo la divergenza di F su un volume può essere equiparato alla doppia integrale del prodotto scalare tra F e N su una superficie . Così , integrali di volume complesse possono essere trasformate in integrali di superficie più gestibili attraverso la comprensione e l'estrapolazione della divergenza di un campo vettoriale .